Empilements de disques

Charlotte Dombrowsky, Myriam Fradon, Sylvie Roelly

Illustration de la convergence vers l'équilibre

Simulation numérique de la dynamique stochastique des sphères dures en interaction attractive.
L'énergie moyenne est affichée sur la gauche. Elle est égale au second moment de la configuration par rapport à son centre de gravité.
Les sphères sont de rayon 1, le quadrillage de côté 10. A l'instant initial, les sphères sont placées au hasard. Elles bougent chacune indépendanmment selon un brownien. Elles s'attirent entre elles proportionellement à la distance qui les sépare, avec coefficient d'attraction a.
La caméra est positionnée en fonction de l'emplacement final de l'empilement de sphères : il est aléatoire (brownien) et pourrait sortir du champ sinon.
Calcul numérique des positions avec Scilab. Visualisation des sphères avec PoV-Ray. Compression par encodage mp4.

Convergence vers une configuration du réseau triangulaire

Simulation de 250 sphères, attraction a=0.005

Simulation de 250 sphères, attraction a=0.0025
Configuration d'équilibre moins compacte que celle de la simulation précédente, à cause de l'attraction plus petite.

Simulation de 50 sphères, attraction a=0.05

Simulation de 500 sphères, attraction a=0.0005
Le temps de calcul augmente comme le carré du nombre de sphères. Il est proportionnel au nombre de chocs entre elles (algorithme event-driven). C'est pourquoi le calcul pour 500 sphères devient extrèmement lent lorsqu'on se rapproche de l'énergie minimale (nombre de chocs maximal). Cette simulation a été interrompue après 60 heures de calcul.

Cas particulier des hexagones

Simulation de 19 sphères, attraction a=1
19 est le nombre hexagonal de coté 3. L'énergie de la configuration hexagonale est 192.
L'encodage à 25 images/seconde induit une unité de temps du brownien de 5,66s pour les sphères de rayon 1 : l'écart-type de la variation d'abcisse et d'ordonnée d'une sphère sur une durée de 5,66 secondes est égal à son rayon. L'amas de sphères se déplace également selon un mouvement brownien, mais il est √19 fois plus lent que le brownien animant les sphères.

Simulation de 37 sphères, attraction a=0.1
37 est le nombre hexagonal de coté 4. L'énergie de la configuration hexagonale est 744.
La convergence vers une configuration réticulaire (cut-off) est rapide mais le temps d'atteinte de la configuration quasi-hexagonale augmente vite avec le nombre de sphères : quelques secondes pour 7 sphères, 2 minutes pour 19 sphères, une heure pour 37 sphères, avec un brownien cadencé à 5,66s. Le quasi-hexagone se déplaçant selon un brownien √37 fois plus lent que celui des sphères peut être observé dans la dernière partie du film.
Attention : convergence lente donc animation longue (1h20) et lourde (1,4Go).

Simulation de 38 sphères, attraction a=0.1
La dynamique explore longuement différentes configurations réticulaires circulaires et se stabilise avec la sphère additionnelles en bordure du quasi-hexagone.
Attention : convergence lente donc animation longue (1h20) et lourde (1,4Go).

Gros plans de l'évolution des 250 sphères

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